Подробнее
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ В ВЗМШ НА 2019/20 УЧЕБНЫЙ ГОД 1(5—6) Джон говорит, •что Джастин врёт. Джастин говорит, что врёт Том. Том говорит, что врут и Джастин, и Джон. Исходя из того, что все трое либо всегда говорят правду, либо всегда врут, кто из них говорит правду? 2(5—6) Поверхность • куба со стороной 6 сантиметров покрасили снаружи в красный цвет. После этого его распилили на кубики со стороной 1 сантиметр. У каждого из получившихся кубиков посчитали количество красных граней. У скольких кубиков это количество не равно двум? 3(5—7) Два квадрат-• ных ковра внесли в квадратную комнату. Сторона одного из ковров в два раза больше стороны другого. Оказалось, что если положить ковры в противоположные углы комнаты, то они покроют в два слоя участок пола площадью 9 м2. А если положить ковры в соседние углы комнаты, то в два слоя окажется покрытым участок площадью 15 м2. Чему равна сторона комнаты? 4(6—7) Великан бро-• сился в погоню за лилипутом, когда расстояние между ними было равно 8 шагам великана. Пока великан делает 1 шаг, лилипут пробегает 7 шагов, но 1 шаг великана равен 11 шагам лилипута. Сколько шагов пробежал I лилипут до момента, ког- j да великан его догнал? 5(7—10) Шесть маль-•чиков и четыре девочки организовали турнир в крестики-нолики. Каждый участник сыграл с другим участником по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Девочки вместе набрали 40 очков. На сколько игр, в которых выиграла девочка у мальчика, больше, чем игр, в которых выиграл мальчик у девочки? 6(8—9) Известно, что • х + 1/х — целое число. Докажите, что тогда X8 + 1/х®— тоже целое число. (8—9) В вершинах • нескольких одинаковых по размеру правильных картонных треугольников в произвольном порядке написаны числа 1,2,3 (в каждом треугольнике встречаются все три числа). Треугольники сложили в стопку так, что их вершины совпали. Могут ли суммы чисел, написанных в каждой вершине стопки, быть равны: а) 2019; б) 2020? (8—10) Пусть abc • некоторое трёхзначное число, записанное цифрами а, Ь, с слева направо. Может ли число abc + bca + cab быть полным квадратом? (9—11) Квадратная • площадь размером 100 на 100 м выложена i квадратными плитами I со сторонами 1 на 1 м j четырёх цветов: бело-I го, красного, чёрного и ! серого так, что никакие 1 две плиты одинакового I цвета не соприкасаются I друг с другом (не имеют 1 ни общей стороны, ни ] общей вершины). Сколь-I ко может быть красных ! плит? (9—11) Докажите, •что если в треугольнике совпадают какие-нибудь две точки из трёх: 1) центр вписанной окружности; 2) центр описанной окружности; 3) точка пересечения медиан, то треугольник равносторонний. И (10 — 11) В вы-• пуклом четырёхугольнике последовательно соединены середины его сторон. Какие значения может принимать отношение площади j полученного четырёх-! угольника к площади i исходного? (10—11) а) Скользко корней имеет I уравнение х2 —3|х|+1 = 0? б) Нарисуйте график функции у — х2 — 3|х| + 1.
математика,наука,задачи,экзамен,Шесть мальчиков и четыре девочки,удалённое
Еще на тему
Типа для 5-го класса задачи 1-3, для 7-го задачи 3-5 и так далее.
John says that Justin is a liar.
Justin says that Tom is a liar.
Tom says that Justin and John are liars.
Who is telling the truth?
Clarification: for the purposes of this puzzle all persons involved either always tell the truth, or always lie.
Если Джастин лжец, значит, Том - нет. (утверждение Джастина наоборот)
Том утверждает, что Джон тоже лжец, а это противоречит условию "Джон может только лгать, если он лжец"
Похоже, что правду говорит Джастин.
Достаточно того, что хотя бы один из них не лжец.
Получается, X^2+1 нацело делится на Х. Разве такое возможно при Х, отличном от единицы?
x^2 + 1 = n * x, где n - целое число
Значит, x = (n +- sqrt(n^2 - 4) ) / 2
Для любого целого n, по модулю большего 2, существует x
Как раз сидел и решал, интересная задачка
Пусть:
x + 1/x = A,
x^8 + 1/x^8 = B
Если получится выразить B через A с целыми коэффициентами, то B - целое число
Заметим, что любые степени целого числа - целое число, т.е. A^2, A^4, A^8 - целые
A^2 = x^2 + 1/x^2 + 2
A^4 = (A^2)^2 = x^4 + 1/x^4 + 2 + (4 + 2 * x^2 + 2 / x^2) = x^4 + 1/x^4 + 2 + 2 * A^2
Прежде чем повторно возводить в квадрат, перенесем A^2 в левую часть, иначе возникнут плохие перекрестные члены вида A^2 / x^4 и x^4 * A^2:
A^4 - 2 * A^2 = x^4 + 1/x^4 + 2
(A^4 - 2 * A^2)^2 = x^8 + 1/x^8 + 2 + 2* (A^4 - 2 * A^2) = B + 2 + 2* (A^4 - 2 * A^2)
B = (A^4 - 2 * A^2)^2 - 2* (A^4 - 2 * A^2) - 2
Действительно, B - целое число
То есть правильно, конечно, но можно ведь
Потратил бы больше времени на решение задач, меньше бы решил в итоге
В итоге все задачи решил кроме 12 за пол часа.
Смысл не в том, чтобы найти такое целое A, что B - целое. Т.е. вопрос не о существовании хотя бы одной пары целых A и B, а о существовании бесконечного числа пар ( или функции f(A), переводящей целое A в целое B = f(A) )
Одно дело, например, обнаружить у пары курильщиков рак легких, другое дело - показать, что всем остальным курильщикам тоже грозит опасность, т.е. есть связь между курением и образованием опухоли, а не просто так случайно получилось
Вот мои слова выше в кванторах:
Случай 1) - то, что просят доказать в задаче
Случай 2) - то, о чем говорите Вы
Из условия и без кванторов понятно, что требуют доказать. По Вашей же логике: иначе задача была бы слишком простой, а все остальные - несравненно сложнее.
Решение выглядит немного громоздким из-за особенностей верстки, а не из-за сложности. Школьнику потребуется половина тетрадного листа.
Тем более здесь набор в заочную школу при МГУ. Кто уже в 8 классе задумывается о дополнительном образовании, тот на голову выше своих сверстников и наверняка знает больше их
2) 168
3) 12 м
4) 140 (?)
5) 4
6) ой, тут индукция, долго расписывать
7) б) 2020
8)
9) 2500
10) это же аксиома
11) 1/2
12) функции, фу.
А есть список правильных ответов?
Условие звучит так.
Но можно рассуждать так:
Возьмем только девочек - их четверо, они сыграли между собой 4*3/2 - 6 игр, разыграв 12 очков.
Прибавляем мальчиков. Каждая из 4 девочек сыграла с каждым из 6 мальчиков, итого 24 игры.
Но за эти 24 игры каждая девочка принесла девочкам 2 очка в случае победы, 1 очко при ничьей и 0 за проигрыш, а всего - 40-12 = 28 очков.
т.е. 2В+Н = 28, В + Н + П = 24 (всего межгендерных игр). Отсюда В - П = 4
По условию 40 очков у девочек, значит 50 у мальчиков.
6 мальчиков между собой провели 15 боев и получили 30 очков.
4 девочки между собой провели 6 боев и получили 12 очков.
Итого в смежных боях мальчики заработали 50-30=20 очков, девочки заработали 40-12=28 очков.
28-20=8 очков разницы. Это +4 победы со стороны девочек.
Как-то так.