Сейчас можно сделать пропуск для поездки в медицинское учреждение, и для проезда по определенному адресу. Думаю проблем с ментами не должно быть. А вот, что кот переносит поездки тяжело - это проблема.
В твоём городе еще есть ветеринарки? Может туда обратиться, как писали уже выше, можно сразу с анализами идти без кота.

Скинь реквизиты карты или номер. Поможем, так хоть психологически чуть полегче будет.

Удачи!